Maneiras de Estudar Matemática
Como estudar Matemática?
Neste novo projeto de Enem devemos lembrar que a nossa maior
responsabilidade diz respeito ao que o aluno consegue adquirir ao
longo de sua vida estudantil, A nova metodologia do Enem está mais
preocupara em selecionar os alunos que se encontram mais preparados
para tomada de decisão de forma técnica e não como a maioria do
povo que vai na base do empirismo para suas aplicações
financeiras, ou seja, utiliza os meios de informação para decidir o
que deve ou não consumir sem a menor preocupação com o futuro de
seus ganhos ao longo tempo que passará trabalhando. Este tipo de
estudante está agora sendo selecionado pelas exigências constantes
nas novas avaliações sendo uma precária tentativa de se aproximar
da avaliação de PIZA para o novo milênio, algo que já estamos
bastantes atrasados, fiz um resumo do ponto de vista da Universidade
Lusofônica de Lisboa - Portugal falando a respeito em como deve-se
ensinar e perceber o aprendizado do aluno
Deve dar-se prioridade à compreensão dos conceitos ou à resolução
de muitos exercícios? O melhor método (caso exista um melhor
método) variará de pessoa para pessoa? Dependerá do grau de ensino
e da maturidade do estudioso? Como se dever de estudar Matemática ?
Mais concretamente, qual a importância relativa do estudo da teoria
e da prática? Entendemos estes termos no sentido que os estudantes
(sobretudo os do ensino superior) lhes dão: teoria é o estudo dos
teoremas com a compreensão das demonstrações ao pormenor, prática
é a resolução de exercícios. Tradicionalmente, os estudantes põem
a prática em primeiro lugar. Não só os de Engenharia, mas também
os de Matemática. A justificação faz-se com afirmações do
gênero: " a prática é que interessa" e "a teoria é
coisa livresca". Em algumas matérias, este ponto de vista dá
resultados razoáveis, pelo menos para efeitos de exames. Por
exemplo, é possível, juntando um pouco de sorte, conseguir algum
êxito na discussão de um sistema de equações algébricas lineares
com fraco entendimento do que se está a fazer. É também possível
calcular derivadas, primitivas e integrais sem perceber bem o que
isso seja, mas de modo a alcançar uma pontuação aceitável num
teste. Ou traçar uma curva. Para isso basta saber que se a derivada
é positiva, a curva sobe, se a segunda derivada for positiva, a
barriga da curva é para baixo, mesmo que não se tenha apreendido a
definição de derivada nem a de convexidade (basta o conceito de
barriga). Pode não se saber bem o que se faz, mas faz-se o
suficiente para se obter mais de 50% da pontuação. Há, porém,
muitas matérias em que o fraco conhecimento dos quês e porquês
conduz inevitavelmente ao desastre. São exemplo disso disciplinas
como Topologia e Álgebra, em que aparecem numerosos exercícios que
começam com "demonstre que...". São clássicas as queixas
dos alunos, mesmo a respeito de problemas muito simples, de que não
se vê por onde se lhes pegar, não é como com as derivadas. Há
quem pense que nesta maneira de estudar (dando toda a prioridade à
prática...) reside uma boa parte da explicação das dificuldades
com a Matemática. É que quem se preocupar primeiro com a
compreensão fina da teoria, incluindo o estudo das demonstrações
até ao mais ínfimo pormenor e sua memorização, notará em breve
que sabe o que está a fazer. Que não dará respostas sem tom nem
som na esperança de que peguem (para utilizar uma palavra muito
comum) porque sabe reconhecer quando não pegam. E notará que muitos
exercícios tidos como difíceis não passam, afinal, de meras
concretizações de teoremas gerais. Quem tiver os teoremas gerais
sabidos, assimilados, digeridos e principalmente bem presentes na
memória, resolve de olhos fechados. Agora nós gostaríamos de saber
a sua opinião quanto à dicotomia acima descrita.
1. Qual a sua opinião sobre o equilíbrio entre as duas vertentes
(i) estudo da teoria, (ii) estudo da prática?
2. Que importância atribui ao estudo detalhado das demonstrações,
tanto no ensino superior como no secundário?
3. Fala-se na beleza da matemática. Onde a encontramos, na teoria ou
na resolução de exercícios?
Resposta Pergunta 1
Para começar, convém mencionar que a matemática é, por natureza,
uma ciência com uma forte componente teórica. Deste modo, a
componente teórica assume um papel fundamental, que não pode
simplesmente ser substituído pela resolução sistemática de
exercícios. É na componente teórica que são adquiridos os
conceitos, só sendo possível a sua manipulação quando devidamente
introduzidos. E essencial a consolidação dos conteúdos teóricos
para posteriormente passar-se à resolução de problemas/exercícios,
caso contrário, corre-se o grave risco de se criar maus hábitos de
estudo, incutindo nos estudantes técnicas e regras básicas de
resolução de exercícios. Este é u m risco a ser evitado, pois é
extremamente importante capacitar os estudantes para a compreensão
dos conteúdos matemáticos inerentes à resolução dos
problemas/exercícios propostos. Há que os incentivar a estimular o
seu raciocínio, bem como o seu espírito crítico e criativo. Penso
ser vital o conhecimento do trajeto percorrido até à obtenção de
uma resposta. Por conseguinte, é fundamental dar-se prioridade à
compreensão dos conceitos. Para alcançar esse objetivo terá de
existir uma boa articulação entre o estudo da teoria e o estudo da
prática, de modo a permitir uma "simbiose" natural entre
estas duas componentes. É com a obtenção desse equilíbrio que
contribuiremos par a um a melhor formação matemática.
Os exercícios não são mais (nem menos) do que pequenos teoremas
suficientemente simples para que seja razoável esperar que os alunos
a que se destinam sejam capazes de os demonstrar e, em certos casos,
acabar de os enunciar. Quando um aluno resolve o exercício 12 + 5 =
? respondendo "17", está a enunciar um corolário do
teorema que legitima o algoritmo da soma que utilizou. A demonstração
desse corolário é precisamente a aplicação do teorema-algoritmo a
esse caso particular, que tem de ser reconhecido como tal, fazendo,
além disso, apelo a um dos importantes resultados que constituem a
chamada tabuada. Por este exemplo se percebe que é muitas vezes
indispensável conhecer conjuntos de teoremas antes que seja possível
estudar pormenorizadamente as respectivas demonstrações; o
objetivo, nesses casos, não é escamotear a atividade dedutiva mas,
pelo contrário, centrar a atenção na obtenção rigorosa de
resultados ao alcance do aluno na fase da aprendizagem em que se
encontra. A natureza da própria matemática determina, em cada nível
de ensino, quais os resultados que são necessários conhecer sem
demonstração, aqueles cujas demonstrações podem ser compreendidas
com utilidade em cada momento e, finalmente, os que podem ser
deduzidos e demonstrados pelos próprios alunos e que constituem os
chamados exercícios. Estes deverão ser suficientes para que o
aluno, pelo menos, comece a encarar os resultados fundamentais do
curso como essencialmente "familiares".
Creio que a nível inicial o estudo terá de ser apenas prático (os
algoritmos das operações aritméticas aprendem-se apenas com a
prática); mesmo na manipulação de expressões algébricas ou no
cálculo de derivadas, a prática é fundamental! Em níveis
avançados, a teoria será mais importante do que a prática, sem que
esta última seja excluída. Recordo que na minha aprendizagem, aos
12-13 anos, foi-me ensinado um algoritmo para extração das raízes
quadradas; nunca o consegui fixar, pois não via nele nenhuma relação
com a raiz quadrada! Parece-me também que para aplicar qualquer
noção matemática numa situação nova dever-se-á ter compreendido
bastante bem essa noção (nomeadamente com o estudo de demonstrações
que a envolvam), isto é, a respectiva teoria e não apenas uma
quantidade de algoritmos ou cálculos.
Resposta pergunta 2
Na minha opinião, o estudo das demonstrações (em ambos os níveis
de ensino) é extremamente importante. Por um lado, é fundamental
que os alunos constatem que os resultados apresentados têm uma
justificação natural, que não surgem sem qualquer suporte. Por
outro lado, as demonstrações têm a capacidade de estimular a
imaginação e, por conseguinte, proporcionam um maior poder de
abstração que é essencial na aprendizagem da matemática. Afinal,
a matemática não é um repositório de receitas para resolver
exercícios. A aprendizagem matemática passa por vários níveis:
apresentação dos conceitos, interiorização e manipulação dos
mesmos e, finalmente, a sua aplicação. Estas etapas são essenciais
para uma boa aprendizagem. Sem dúvida, o estudo/análise das
demonstrações (mesmo que sejam omitidos certos detalhes) tem a
capacidade de fomentar este processo. Em relação ao ensino
secundário, só gostaria de referir que não há necessidade de se
apresentar muitas demonstrações, mas apenas as mais importantes.
Evidentemente, alguns detalhes podem ser omitidos. O mais importante
é incentivar o espírito crítico e criativo dos estudantes,
estimulando a sua imaginação, bem como incutindo-lhes hábitos de
análise, discussão e iniciativa na resolução de problemas.E a
análise das demonstrações contribui indiscutivelmente para
alcançar estes objetivos.
Lembrarei apenas que tal estudo constitui o contacto direto com uma
apresentação sintética e elegante de porções relevantes da
matemática já feita; dispensá-lo impede esse contacto, salvo raras
exceções.
As demonstrações desempenham um papel fundamental no
estabelecimento de verdades matemáticas; não nos devemos esquecer,
no entanto, também do papel da intuição/raciocínios
heurísticos/exemplos , nomeadamente nas demonstrações por absurdo.
Tendo conhecimento de meia dúzia de procedimentos, é possível
obter 10 num exame (mas não notas altas). No entanto, tais
estudantes estão sujeitos a diversas rasteiras (nomeadamente
provocadas por erros de cálculo). A necessidade de estudar as
demonstrações deve ir aumentando à medida que se avança no nível
de ensino; em certos casos (e níveis) um exemplo pode ser mais
elucidativo do que uma demonstração. Parece-me, no entanto, grave
que um jovem acabe o 3° ano de Matemática convencido de que a
veracidade de uma proposição matemática se estabelece com alguns
exemplos: temo que seja isso que esteja a acontecer; dar exemplos é
útil! O que se deveria também dizer é que há sempre necessidade
de uma demonstração (que pode ser omitida naquele nível de
ensino).
Resposta pergunta 3
A matemática é, por natureza, uma ciência extremamente rica e
bela. A sua beleza encontra-se um pouco por todo o lado. Por exemplo,
ao olharmos para um simples calendário (gregoriano) é curioso
constatar que está subjacente a noção de congruência módulo 7.
Em muitas outras situações da nossa vida deparamo-nos com diversos
conceitos matemáticos. E, de fato, fascinante constatar a
importância e a presença constante da matemática nas nossas vidas.
Mas, sem dúvida, o seu lado mais belo e criativo encontra-se
associado à componente teórica. A teoria possibilita incentivar a
imaginação e a criatividade. E que há de mais belo do que a
criatividade? Ser criativo é ver para além daquilo que é
apresentado... E dar mais um "passo", ir mais além, é
procurar respostas e encontrar novos problemas... E caminhar em busca
de novos desafios! E note-se que este processo tem vindo a repetir-se
ao longo dos tempos, facultando a obtenção de respostas e gerando
novos problemas. Assim, identifico a profunda beleza da matemática
nesta busca contínua de respostas e esta busca insere-se no âmbito
da teoria.
O que aqui se chama "teoria" é como uma obra de arte cuja
contemplação só despertará sentimentos estéticos quando formos
capazes de a compreendermos; a resolução de exercícios apela à
nossa própria criatividade, mas num âmbito mais modesto. Assim,
podemos encontrar essa beleza em ambos os campos, não se conhecendo
limites para a que podemos apreciar na "teoria", ou seja,
na contemplação da matemática já feita, e havendo a oportunidade
essencial para saborear um pouco da "beleza do ponto de vista do
artista", ainda que em porções mais limitadas, na resolução
de exercícios.
A matemática foi, desde sempre, quer um meio de resolver problemas
práticos quer apenas uma atividade intelectual; ao longo do seu
desenvolvimento histórico, estes aspectos estiveram sempre
presentes. Penso, pois, que os dois aspectos teoria/aplicações
deverão sempre estar presentes. Para mim, um dos aspectos mais belos
da matemática consiste no fato de teorias desenvolvidas sem nenhuma
relação com aplicações virem a encontrar aplicações
Autor: Graciano de Oliveira
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