Seção de problemas

Seção de Problemas - Nº2 Pessoal, aqui estou eu para apresentar a segunda seção de problemas do blog. Assim, teremos mais material no blog Aqui vão: Teoria dos Números 1 – (IMO-1964) Encontre todos os n para os quais é divisível por 7, e prove que, para todo n, não é divisível por 7. 2 – (IMO-1968) Encontre todos os inteiros positivos x para os quais , onde denota o produto de seus dígitos. 3 – (IMO-1969) Prove que existem infinitos com a seguinte propriedade: Para todo n inteiro positivo, nunca é primo. Álgebra 4 – (Proposto pela Iugoslávia para a IMO de 1966) Para reais positivos, prove que 5 – (IMO-1968) Seja e uma função definida para todos os reais, satisfazendo, para todo (a) Mostre que é periódica, i.e., existe b>0 tal que f(x+b)=f(x), para todo x. (b) Dê um exemplo de uma função assim para Geometria 6 – (IMO-1967) ABCD é um paralelogramo. AB=a, AD=1.. e os ângulos do triângulo ABD são agudos. Prove que os quatro círculos KA,KB,KC,KD, com centros em A,B,C,D, respectivamente, e de raio unitário cobrem o paralelogramo se, e somente, 7 – (IMO-1964) Dados lados de um triângulo, prove que Combinatória 8 – Existem pessoas em uma sala. Dizemos que duas delas são amigas se elas se conhecem. Mostre existem pelo menos duas delas com o mesmo número de amigos. (Amizade é uma relação mútua) 9 – (IMO-1967) Em uma competição de esportes de n dias, há m medalhas a serem conquistadas. No primeiro dia, são conquistadas 1 e mais um sétimo das restantes. No segundo, duas e um sétimo das restantes, e assim em diante. No n-ésimo dia, sabe-se que foram conquistadas n medalhas. Quantos dias durou e quantas medalhas foram conquistadas na competição? Bom, como não houve resposta à seção anterior de problemas, aqui teremos apenas a resolução de alguns dos problemas da seção anterior. Problema 1 – Prove que é um primo somente se é potência de 2 (quando isso acontece, temos um primo de Fermat) Resolução: Suponhamos que tenha algum fator ímpar na sua decomposição em primos. Portanto, Onde é um ímpar. Que é um número composto. Logo, tem de ser uma potência de 2. Problema 4 – Se e , Ache os possíveis valores para Resolução: Seja Então, podemos escrever Pois . Mas Então Multiplicando as expressões (I) por respectivamente, Como Assim, Multiplicando, novamente, as expressões em (I) por , respectivamente, obtemos Botando na expressão original, Problema 7 – Seja um quadrilátero inscritível em uma circunferência de centro tal que suas diagonais são perpendiculares. Mostre que a linha poligonal divide o quadrilátero em duas regiões de mesma área. Resolução: Primeiro, a figura, com pequenas alterações: Reparemos que, para que a condição do enunciado seja satisfeita, devemos ter Onde [ABC] denota a área do triângulo ABC. Logo, Para isso, traçamos a reta pontilhada paralela a AC, e fazemos uma reflexão dos pontos A e C em relação a esta, para obter o triângulo pontilhado A’OC’. O ponto onde A’C’ encontra DB é aquele para o qual teremos a distância DE. Logo, entre este ponto e o ponto E teremos a distância BE-DE que procuramos. Assim, temos apenas que provar que A’OC’ e AOC são congruentes. Porém, isto é óbvio, pois os ângulos C’AC = C’A’C e A’C’A=A’CA, pois estão inscritos no mesmo arco de circunferência, e, por A’ e C’ serem uma reflexão de A e C em torno da reta, A’C’=AC, o que nos mostra que eles são congruentes. Assim, se chamarmos suas alturas de h, teremos Assim, suas áreas devem ser Que nos dá o resultado desejado.