Sete problemas curiosos
(mais uma questão
lógica)
Curiosa pode ser a questão em si ou a
forma de resolvê-la. Adaptados à moeda atual, se necessário, os problemas,
alguns extraídos de livros didáticos, são lembranças.
(problema mais misterioso que curioso)
José, Paulo e Pedro pagaram à conta de um bar, que deu 30
reais. Cada um entrou com 10 reais. Depois, o garçom devolveu cinco reais,
dizendo que a conta tinha sido 25 reais, tendo havido engano.
¾ Nesse caso, dois reais ficam como gorjeta do garçom e
cada um de nós recebe um real de troco – sugere José.
Tudo aceito. Depois
de deixarem o bar, já na rua, Pedro ficou a questionar:
¾ A conta parece certa, mas tem uma coisa que está me
grilando. Vejam: no começo a conta foi 30 reais. Cada um deu 10 reais (10x3=30). Depois, cada um recebeu um real
de troco: a despesa ficou em 27 reais (9x3=27). Mais dois do garçom, 29 reais. Falta um real. Cadê?
¾ De fato, 30
reais no começo. Com o troco que cada um recebeu, ficou por 27 reais. Mais dois da gorjeta do
garçom, 29.
Falta um real – concordam seus companheiros.
Cadê o real?
2. Três
pedidos
Se o senhor dobrar a quantia que tenho no bolso,
lhe darei 20 reais – disse Joca a seu pai. Satisfeito o pedido e cumprida a
promessa, dirige-se a sua mãe, com o mesmo pedido com a mesma condição.
Atendido, deu o prometido. Por fim, fez igual pedido a seu avô. Também
atendido, deu 20 reais e ficou liso, zerado. Quanto Joca possuía antes de
fazer o primeiro pedido?
3. Três
jogadores
Três jogadores acertaram: quem perder
dobra a quantia que cada um tiver no momento. Jogaram três partidas, cada um
perdeu uma partida, cada um ficou no final com 80 reais. Quanto cada jogador
possuía antes de começar o jogo?
4. Juros
simples
Que
montante o capital de R$5.650,00, a 12% ao ano, produz em 4 anos e 6 meses?
5. Juros
compostos
Achar os juros compostos de R$4.200,00, a 10% ao ano, em 5
anos, capitalizados anualmente.
6.
Galinhas e porcos
Um terreiro tem galinha e porcos, ao todo 25 animais e
Tenho o triplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens.
Quando tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será 49 anos.
Quais são as nossas idades?
Numa corrida com um número par de
cavalos, foi definido critério inverso: ganha quem chegar por último. A
competição foi realizada em condições normais. Foram batidos todos os
recordes. Ganhou quem chegou em derradeiro lugar.
Qual o artifício usado para realizar o evento?
Soluções
A questão está para a lógica dos números
assim como a mágica está para a realidade.
Solução
na álgebra:
Com facilidade, o problema pode gerar
equação semelhante a esta: 8x – 140 = 0, donde x = 17,50.
Solução na aritmética:
Método das operações inversas. Parte-se do fim para o início: Antes de dar 20 ao avô, Joca
tinha 0 + 20 = 20. Mas o avô dobrou. Logo,
ele tinha antes 20/2 = 10, quantia com
que veio de sua mãe. Antes de dar
Solução
na álgebra:
A solução pode conduzir a um sistema de equações com três incógnitas,
semelhante a este:
Resolvido o sistema, têm-se: x = 130, y = 70 e z = 40.
Solução na aritmética:
Método das operações inversas. Veja o esquema abaixo. Siga o raciocínio. Faça
as operações contrárias. Três jogadores: A, B e C. Primeira partida perdeu A.
Segunda perdeu B. Terceira perdeu C. Do fim para o início, perderam C, B e A.
Tem-se:
Resposta:
os jogadores A, B e C possuíam, antes de começar o jogo,
130. 70 e 40
reais, respectivamente (mesmas respostas).
Solução
usual:
Mediante aplicação da fórmula de montante, tem-se: M = 5.650+
(5.650x`12x54)/1.200 = 8.701
Solução por falsa-posição:
Método baseado
Capital falso
– 100 (pode ser outro número);
Juros falsos -
4 x 12 + 6 + = 54; montante falso - 154
Arma-se a
proporção: capital falso está para capital verdadeiro
assim como montante falso está montante verdadeiro.
Tem-se: 100/5.650 = 154/x, donde
x = (154x5.650)/100 = 8.701 (a mesma resposta, sem uso de fórmula)
Solução usual:
Tem-se: Montante = 4.200 x (1 + 0,10)5 = 6.764,14; juros compostos = 6.764,14 – 4.200 =
2.564,14.
Solução por falsa-posição:
100 (capital falso). Montante
falso: 100 x 1,105 = 161,051; juros falsos = 161,051 – 100 = 61,051. Arma-se a proporção: capital
falso está para capital verdadeiro assim como juros falsos estão para juros
verdadeiros. Tem-se:
100/4.200 = 61,051/x, donde x = (4.200
x 61,051)/100 = 2.564,14 (a mesma resposta, sem uso de fórmula).
Conclusão
A solução de problemas na aritmética pode ser mais simples, rápida e
gratificante, quando se acha logo o caminho das pedras. Mas nem sempre é mais
fácil buscá-la.
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quinta-feira, 22 de março de 2012
Matemática divertida (role a tela para ler tudo)
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